Exemples d’application du mécanisme de l’actualisation

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Exemples d’application du mécanisme de l’actualisation
Application de l’actualisation aux emprunts indivis
Le taux actuariel d’un emprunt
Le taux actuariel d’une dette financière
Le taux de privation ou taux d’équilibre
Interprétation actuarielle des intérêts compensateurs

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Description

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Informations complémentaires

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. Exemples d’application du mécanisme de l’actualisation .. Application de l’actualisation aux emprunts indivis Les techniques de l’actualisation sont souvent utilisées dans le cadre des emprunts indivis. On distingue traditionnellement les emprunts indivis, c’est à dire les emprunts non divisibles et contractés auprès d’un seul créancier, des emprunts obligataires vendus à un grand nombre de créanciers. L’objectif n’est pas de construire le tableau d’amortissement d’un emprunt (capital remboursé, intérêts payés, capital restant dû) mais de calculer son coût réel à partir du capital emprunté et des échéances supposées connues. … Le taux actuariel d’un emprunt Le taux actuariel d’un emprunt est le taux d’intérêt composé qui égalise le capital emprunté avec la valeur actuelle des annuités payées (capital remboursé et intérêts payés à chaque échéance). Autrement dit, le capital emprunté est égal à la somme des annuités actualisées au taux d’intérêt de l’emprunt. Le taux actuariel ainsi recherché constitue le coût réel de l'emprunt, hors frais, calculé au jour de la mise à disposition des fonds, sur la durée totale de l'emprunt. Taux actuariel d’un emprunt à échéances annuelles C : capital emprunté l’année ai : montant de l’annuité payée l’année i, i variant de à n n : nombre d’annuités payées t : taux d’intérêt actuariel exprimé en % Le diagramme des flux d’un emprunt indivis se présente donc de la manière suivante : Schéma . : Diagramme de flux d’un emprunt indivis Voir le paragraphe .. « La prise en compte des charges financières » pour l’approche comptable et financière des emprunts. C capital emprunté + a a an _ annuités payées Le taux actuariel est donc le taux d’intérêt composé qui satisfait l’égalité suivante : C = a a an + + ——— + ( + t) n (+ t) (+ t) n C = ai (+ t) i i= Le taux actuariel annule donc la valeur actuelle nette (VAN) suivante : n -C + ai (+ t) i= i = Le taux actuariel ainsi calculé constitue le coût réel de l’emprunt, exprimé en % et hors frais annexes. Il suppose, pour être calculé, de connaître le capital emprunté et les flux successifs d'échéances remboursées, éléments nécessairement disponibles à la première lecture du tableau d'amortissement s’il s’agit d’un taux fixe, ou en cristallisant le taux s’il s’agit d’un taux variable. Si l’on retourne à l’exemple du précédent paragraphe, il est possible de calculer le coût réel de cet emprunt indivis à l’aide de la fonction TRI d’Excel en partant de la séquence de flux de trésorerie développant l’ensemble des échéances annuelles de paiement : Voir une première approche du TRI en fin de paragraphe … « Le taux actuariel », note de bas de page. Voir également la note de bas de page ci-après. Le flux positif correspond au capital emprunté et les flux négatifs aux échéances payées par l’emprunteur. Le taux actuariel, hors frais, de cet emprunt est de .%. Ce taux actuariel ne préjuge pas des taux faciaux ou nominaux qui peuvent être différents pour chaque échéance de l’emprunt. Exemple : emprunt indivis C a n p : capital emprunté = € : montant de la première annuité payée = . € : nombre d’annuités payées = : taux de progression des échéances payées = % On en déduit le tableau de flux monétaires suivant avec un flux monétaire positif correspondant au capital emprunté et flux monétaires négatifs correspondant aux échéances (capital + intérêts) payées : dates – + Montant échéances Capital emprunté . . . . . . . . . . . En conséquence, le taux actuariel t de cet emprunt est le taux qui résout l’équation suivante : = . . . . + + —-+ + ( + t) (+ t) (+ t) (+ t) t constitue la racine de cette équation de degrés . t est égal à .%. Autrement dit, le coût réel de l’emprunt est de .%. Ce taux actuariel est souvent appelé taux actuariel brut car il ne tient pas compte des prélèvements fiscaux, des retenues à la source et autres frais annexes. De cette égalité, on peut déduire conséquences importantes.  Le calcul du taux actuariel d’un seul emprunt peut aussi être réalisé pour plusieurs emprunts de durées de vie différentes. Ainsi, il est possible de calculer le taux actuariel d’un bouquet d’emprunts finançant par exemple un investissement immobilier locatif. L’exemple ci-dessous présente emprunts de montant, de taux d’intérêt et de durée différents, finançant en totalité un investissement locatif. Il s’agit d’emprunts à taux fixes et à échéances annuelles constantes. n° emprunt montant emprunt taux d'intérêt ,% ,% ,% durée en années montant échéance , , , La question est d’évaluer à quel le taux actuariel global cet investissement est-il financé ? Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour calculer cette racine : par exemple la méthode d’interpolation linéaire ou les méthodes d’essais successifs (dichotomique ou par balayage successif). En pratique, il est aussi possible d’utiliser la fonction TRI d’Excel de Microsoft à partir du tableau suivant (chiffre positif = encaissement et chiffres négatifs = décaissements) : – – – – – – – – – – TRI . . . . . . . . . . . .% Voir aussi la rapide présentation du TRI d’Excel en fin de paragraphe … « Le taux actuariel », note de bas de page. Le tableau de flux monétaires suivant permet de répondre à cette question en calculant, à l’aide de la fonction TRI d’Excel, le taux actuariel de la séquence de flux composée d’une part de la somme des capitaux empruntés ( ) et d’autre part la somme des échéances remboursées pour ces emprunts jusqu’à la quarantième échéance. TRI emprunt emprunt emprunt somme des emprunts. Le taux actuariel de ce bouquet d’emprunt est égal à .%. Autrement dit, c’est investissement locatif est actuariellement financé par un emprunt global de € d’une durée de ans au taux actuariel de .%.  Le taux actuariel peut aussi être calculé à l’issue du paiement de chaque échéance de l’emprunt en rapprochant le capital restant dû et les échéances restant à payer. On parle alors de taux actuariel résiduel. Si Cp constitue le capital restant dû après le paiement de la pème annuité, alors Cp est égal à la valeur actuelle des annuités restant dues après le paiement de la pème annuité, pour un taux d’actualisation zp : Cp = n -p a j+ p  ( + z j= p )j Si l’on s’en tient à l’exemple précédent et que le capital restant dû de l’emprunt lors du paiement de la ème annuité est égal à . €, alors il est possible de calculer le taux actuariel résiduel z de l’emprunt après paiement de la ème annuité tel que : C = a j+  ( + z j= )j Soit encore : . = . . + + —– + . ( + z) ( + z) ( + z) En conséquence, z = .%. Autrement dit, le coût actuariel résiduel z de l’emprunt après paiement de la ème échéance est de .%, différent et supérieur au taux actuariel calculé lors de la contractualisation de l’emprunt (t = .%). En pratique, il est possible de calculer un taux actuariel après chacune des échéances : – + Montant dates échéances Capital emprunté , , , , , , , , , , , Taux actuariels résiduels , , , , , , , , , , Si le taux actuariel à la signature du contrat de prêt est bien de .%, on constate pour cet exemple que les taux actuariels résiduels augmentent sur la durée de remboursement de l’emprunt d’un peu plus de point de taux. Les taux d’intérêt nominaux qui ont permis la construction du tableau d’amortissement sont de toutes évidences croissants. Ces taux actuariels résiduels renseignent l’emprunteur sur le coût actuariel de la dette qui reste à rembourser. C’est à la lecture de ces taux actuariels résiduels qu’il sera possible d’arbitrer la dette financière soit avec d’autres emprunts du marché ou soit avec d’autres placements de même durée résiduelle ou de même durée moyenne.  On déduit du taux actuariel d’un emprunt le taux effectif global (TEG) de cet emprunt en tenant compte des frais annexes associés à l’emprunt. Le TEG est un taux actuariel particulier : il est le taux actuariel de l’emprunt net de frais. Ces frais sont la contrepartie d’un ensemble de services rendus à l'emprunteur, services distincts de la mise à disposition à l'emprunteur d'un capital. Les frais sont en général de natures différentes : o le capital emprunté peut être minoré de frais « flat » f ; ces frais sont perçus par le prêteur au moment de la mise à disposition des fonds à l'emprunteur. Le flux monétaire réellement encaissé par l'emprunteur est donc égal au nominal de l’emprunt minoré de ces frais flat = (C – f). Il peut s’agir de frais liés aux risques du prêteur (frais de garantie, d’hypothèque, de CGLLS, de caution…), de commissions et rémunérations diverses (frais d’inscription, frais de dossier, frais annexes…). o les échéances payées peuvent être majorées de frais fi à chaque échéance. Les frais sont perçus par le prêteur ou son intermédiaire au moment du règlement de l'échéance. Le flux monétaire réellement décaissé par l’emprunteur est donc majoré de ces frais = (ai + fi). Il peut s’agir, par exemple, de frais d’assurance obligatoire… Ces frais ont toute la caractéristique d’être imposés à l’emprunteur par le prêteur de capitaux pour obtenir l’emprunt. Le diagramme des flux se présente donc de la manière suivante : Schéma . : Diagramme de flux d’un emprunt avec frais Le taux d'intérêt nominal ou taux d'intérêt facial est le chiffre, exprimé en %, applicable pour une année entière à un capital donné. Le résultat de cette opération donne les intérêts. C + f – a a f f an fn Si t’ constitue le TEG de l’emprunt, on peut écrire l’équation suivante : n C- f = a i + fi  ( + t') i= i Si l’on considère l’exemple de l’emprunt indivis présenté ci-dessus et que l’on pose : f = € fi = € pour chacune des échéances alors le tableau des flux de l’emprunt, tous frais compris, se présente de la manière suivante et le TEG t’ peut se calculer : dates = Montant échéances + Capital emprunté . . . . . . . . . . . . . . . + + —– + + (+ t') (+ t' ) ( + t' ) (+ t' ) t’ = .% avec t’> t, t = .% Autrement dit, les différents frais affectant l’emprunt « pèsent » . points de taux actuariel. Les points de base sont des unités de variation d’un taux, d’un indice ou d’un cours. Pour un taux d’intérêt comme celui-ci, en langage financier, le point de base désigne un centième de Il n’est nul besoin de démontrer que le taux effectif global (TEG) est toujours supérieur au taux actuariel de l’emprunt (t’ > t) si les frais sont non nuls :  soit avec le même capital initialement emprunté, l'emprunteur doit faire face à des échéances majorées de frais, donc le TEG est supérieur au taux actuariel initial de l’emprunt  soit avec un capital initial minoré de frais, l'emprunteur doit faire face aux mêmes échéances initiales, donc le TEG est supérieur au taux actuariel initial de l’emprunt  soit, les deux situations se conjuguent et le TEG est encore plus majoré. Les frais flat et les frais par échéance ont donc pour effet d’augmenter le coût réel de l’emprunt. D’un point de vue réglementaire, le TEG d’un emprunt est établi en ajoutant aux intérêts de base les frais, taxes, commissions ou rémunérations de toute nature, directs ou indirects, supportés par l’emprunteur et connus du prêteur à la date d’émission de l’offre de crédit ou de l’avenant au contrat de crédit, ou dont le montant peut être déterminé à ces mêmes dates, et qui constituent une condition pour obtenir le crédit ou pour l’obtenir aux contions énoncées. Pour les contrats de prêts qui prévoient un amortissement échelonné, le TEG est calculé en prenant en considération les modalités d’amortissement de la créance. Ce taux doit être mentionné dans tout écrit constatant un contrat de prêt. Il convient donc de calculer et d’apprécier le TEG d’un emprunt au moment de l’octroi de celui-ci, ce qui a pour conséquence d’exclure du calcul les éléments postérieurs, extérieurs à la volonté du prêteur, qui viendraient en accroître le coût. Les organismes d’Hlm – comme n’importe quel autre emprunteur – doivent donc incorporer la totalité des coûts nécessaires à la réalisation du financement : le taux nominal d’intérêt et l’ensemble des autres éléments mis à pourcentage (.%). Par exemple, un taux qui passe de à % gagne points de base. Le symbole est pb ou bp. En anglais, on parle de Basis Point. Le TEG se calcule pour un crédit immobilier et pour un crédit hypothécaire – c’est précisément le cas ici – pour les biens immobiliers à usage résidentiel, mais se calcule aussi pour un crédit à la consommation. La législation sur le TEG concerne à la fois tous les financements consentis aux particuliers et tous les financements consentis aux professionnels, qu’ils soient personnes morales (SA, SAS, SARL…) ou physiques (artisans, commerçants, agriculteurs, professions libérales…). Article L – du Code de la Consommation. Article L – du Code de la Consommation. Les dispositions relatives au TEG figurent depuis l’Ordonnance n° – du mars aux articles L – à L -. Cette Ordonnance a introduit une nouvelle définition du TAEG pour la distribution du crédit immobilier et du crédit hypothécaire pour les biens immobiliers à usage résidentiel. la charge de l’emprunteur. Ces divers coûts ont donc un impact sur la rentabilité des projets d’investissement financés par emprunts. L’objectif du calcul du TEG est donc double : il est à la fois d'essence concurrentielle et juridique.  Le TEG permet tout d’abord, répétons-le de nouveau, d’informer l’emprunteur du coût réel d’un emprunt et de comparer les offres de prêts des différents établissements de crédit. En effet, un emprunt peut être en apparence plus cher qu’un autre si l’on compare seulement leur taux actuariel calculé sur la base du ou des taux d’intérêts nominaux. Mais si les frais associés à l’emprunt sont plus faibles pour le second que le premier, il peut éventuellement compenser la différence – voire plus – de taux actuariel. Exemple : comparaison du TEG de emprunts Considérons offres de prêts A et B ayant les caractéristiques suivantes : montant du nominal en € durée en années taux d'intérêt nominal fixe montant de l'échéance annuelle en € frais de contrat en € frais de garantie en € : – caution – hypothèque inscrite EMPRUNT A .% . EMPRUNT B .% . Partant du même nominal emprunté et de la même durée de remboursement, quel est l’emprunt le moins cher pour le client de la banque ? Les échéances annuelles sont calculées à partir de la fonction VPM d’Excel de Microsoft. Hors frais, l’emprunt A semble plus avantageux pour l’emprunteur car son taux actuariel calculé à partir du taux d’intérêt nominal est de .%, inférieur de .% à celui de l’emprunt B ( points de base en moins). Le TEG est calculé à partir de la fonction TRI d’Excel. VPM calcule le remboursement d'un emprunt sur la base de remboursements et d'un taux d'intérêt constants. Le taux saisi représente le taux d'intérêt de l'emprunt. NPM représente le nombre de remboursements pour l'emprunt. VA représente la valeur actuelle ou la valeur que représente à la date d'aujourd'hui une série de remboursements futurs ; il s'agit du principal de l'emprunt. La valeur de paiement renvoyée par VPM comprend le remboursement du capital et les intérêts payés. Pour mémoire, point de base est égal à centième de pourcent (.%). Si l’on tient compte de l’ensemble des frais associés à ces offres de prêts, alors l’emprunt B est plus avantageux pour l’emprunteur car son TEG – calculé à partir de la fonction TRI d’Excel – est de .%, inférieur de .% ( points de base) à celui de l’emprunt A comme en témoigne le comparatif des offres ci-dessous : COMPARATIF des offres de financement TAUX FIXE ,% frais de contrat frais de garantie montant encaissé (montant du prêt – frais – garantie) échéance décaissée échéance décaissée échéance décaissée échéance décaissée échéance décaissée échéance décaissée échéance décaissée échéance décaissée échéance décaissée échéance décaissée TAUX FIXE ,% . . – – – – – – – – – – TEG . . . . . . . . . . . . . – – – – – – – – – – .% coût actuariel des frais annexes . . . . . . . . . . . .% .% .% Le choix s’inverse car le coût actuariel des frais annexes de l’emprunt A est de .%, supérieur de .% à celui de l'emprunt B (.%) non compensé par la différence de taux actuariel du nominal (.%). Le graphique ci-dessous présente, à partir d’un emprunt dont le taux actuariel sans frais est de .%, l’impact de différentes sortes de frais sur le TEG dudit emprunt. Les frais sont soit flats (frais versés à la date d’effet ou à la date de premier versement), soit versés à chaque échéance (% du nominal ou du capital restant dû, % ou montant fixe à chaque échéance) : . % du capital emprunté à chaque échéance ,% . % du capital restant dû à chaque échéance ,% € à chaque échéance ,% € à la date d'effet ,% € à la date de er versement ,% . % des versements ,% sans frais ,% Généralement, les frais flats et les frais versés à chaque échéance se cumulent.  Le TEG permet ensuite de savoir si le taux réel de l’opération demeure inférieur au taux de l’usure : en effet, constitue un prêt usuraire tout prêt consenti à un TEG qui excède, au moment où il est consenti, de plus du tiers, le taux effectif moyen pratiqué au cours du trimestre précédent par les établissements de crédit pour des opérations de même nature, comportant des risques analogues. Lorsque les modalités du prêt imposent à l’emprunteur des remboursements annuels, le calcul du TEG ne pose pas de problème : il s’agit du calcul présenté jusqu’à présent ci-dessus. Lorsque les modalités du prêt imposent à l’emprunteur des remboursements selon une périodicité inférieure à l’année, alors l’Article R – ème alinéa du Code de la Consommation admet que le TEG soit un taux annuel, proportionnel au taux effectif global de la période, à terme échu et exprimé pour cent unités monétaires. Ceci revient donc à multiplier le taux effectif global de la période (TEG périodique) par le rapport entre la durée de l’année civile et celle de la période unitaire. Ce rapport est calculé, le cas échéant, avec une précision d’au moins une décimale. En conséquence, le TEG est d’abord calculé dans la périodicité de l’emprunt (TEG périodique) puis l’on passe du TEG périodique au TEG annuel ou encore TAEG (taux annuel effectif global) par la méthode proportionnelle. Lorsque la périodicité des versements est irrégulière, la période unitaire est celle qui correspond au plus petit intervalle séparant deux versements. Le plus petit intervalle ne peut cependant être inférieur à un mois. TEG annuel TEGp : TEG de la période p (TEG périodique) p : durée de la période Les taux effectifs moyens et les seuils de taux usuraires sont publiés chaque trimestre au Journal Officiel suivant les catégories de prêts observés (prêts immobiliers : à taux fixes, à taux variables, prêts relais ; prêts à la consommation ; prêts aux entreprises). Ils sont établis par la Banque de France à partir d’une enquête portant respectivement sur les crédits en euros accordés aux particuliers et aux entreprises. Le calcul de ces taux est effectué selon une moyenne arithmétique simple des taux effectifs globaux observés (Article D – du Code de la Consommation). Sont exclus de cette assiette : – les prêts consentis à des taux « hors marché » parce que réglementés, administrés ou bonifiés par l’État (prêts d’accession à la propriété, prêts d’Epargne-Logement, prêts conventionnés pour l’accession à la propriété…) – les prêts d’un montant élevé accordés aux entreprises susceptibles de faire appel direct au marché. C’est ainsi, par exemple, que les prêts d’une durée initiale supérieure ou égale à deux ans, d’un montant supérieur à €, ne sont pas pris en compte. Article L – du Code de la Consommation. Article L – du Code de la Consommation. k : durée de l’année civile en nombre de périodes p TAEG : TEG annuel k p TAEG = × TEGp Si TEGp = .% pour mois, alors le TEG annuel est égal à : TAEG = × . = % Pour terminer sur la question du TEG, et pour ce qui concerne les entreprises Hlm, le TEG n’est pas entaché pour l’instant par les effets de l’impôt sur les sociétés comme il l’est pour n’importe quelle autre entreprise fiscalisée. Pour les entreprises non Hlm, il est en effet possible de calculer un TEG net d’impôt t’’, interne à l’entreprise (non juridique mais financier) : TEG net d’impôt sur les sociétés C : capital emprunté l’année ai : montant de l’annuité payée l’année i avec ai = ci + ii ci : capital remboursé l’année i ii : intérêts payés l’année i fi : frais de l’échéance i b : taux d’imposition sur les bénéfices n : nombre d’annuités payées t’’ : TEG net d’impôt exprimé en % Dans la mesure où les frais et les intérêts payés constituent des charges d'exploitation qui diminuent le bénéfice imposable, on en déduit la valeur de t’’ à partir de l’égalité suivante : n C- f(-b) = ci + (ii + fi )(- b) (+ t'' )i i=  Ce TEG net fiscal est bien entendu inférieur au TEG hors fiscalité. Notons que b est généralement nul pour les entreprises Hlm aujourd’hui. AVIS D’EXPERT Michel GOUILLARD : Doit-on partir du principe que les offres de prêts immobiliers octroyées par les établissements bancaires sont toujours justes sur le plan juridique et au niveau du calcul du TEG ? Christine AZEMAR : Il faut distinguer selon la qualité du souscripteur du prêt. Prenons par exemple les cas d’un particulier, d’une collectivité locale et d’un bailleur social. ► Pour les particuliers On constate que, concernant les prêts immobiliers contractés antérieurement à , plus des ¾ des prêts octroyés à des particuliers ne sont pas totalement conformes au Code de la Consommation, soit sur le plan juridique, soit sur le plan calculatoire. Les particuliers relèvent du Code de la Consommation qui est très protecteur, sauf pour quelques cas qui sont, dans leurs métiers, des professionnels du chiffre (expert-comptable, actuaires, financiers…). Le Code de la Consommation précise en effet un certain nombre de normes sur la forme et sur le mode calculatoire. Notamment concernant le calcul des intérêts qui doit être effectué sur jours et non en année lombarde. De même, le taux doit être exprimé tous frais inclus et doit être strictement identique ( chiffres après la virgule) dans l’offre de prêt et dans le tableau d’amortissement. En cas de non-respect la sanction est, depuis plus de ans, la même : – le banquier doit rembourser – sous forme d’un capital – l’ensemble des intérêts payés entre le jour de la mise en place du prêt et la date de jugement ; voilà pour le passé. – pour ce qui concerne la période comprise entre le jour du jugement et la fin du prêt, les juges, généralement, substituent au taux contractuellement prévu, le taux légal (, %/ an pour le er semestre ). La procédure à engager est simple : une analyse juridique et calculatoire de l’offre de prêt d’une part et du tableau d’amortissement d’autre part permet de déterminer s’il y a des anomalies juridiques ou des anomalies calculatoires (année lombarde, frais intercalaires…). Si les enjeux financiers le justifient, une procédure amiable (rarement couronnée de succès), puis contentieuse, est engagée. Au terme de ans environ le jugement exprimé est, dans % des cas, favorable aux particuliers. C’est-à-dire une année fictive de jours et non d’une année civile composée de jours ou de jours les années bissextiles. Il s’agit d’une pratique très ancienne, développée au Moyen Âge par des banquiers installés au nord de l’Italie. En raison de son origine, cette année bancaire fictive est appelé année « Lombarde ». Voir ci-après le paragraphe … « Le calcul des durées actuarielles ». Un particulier qui engage une telle démarche doit prévoir un budget de € environ (avocat, expert judicaire, huissier assurance…) qui peut être partiellement pris en charge par certains contrats de protection juridique. ► Pour les collectivités territoriales Les collectivités territoriales sont considérées comme des professionnels, par conséquent, elles ne bénéficient pas de la même protection du Code de la Consommation. Les petites communes se comportent souvent comme des particuliers car elles n’ont pas toujours les compétences financières dans leurs équipes. Le juge leur est souvent plus favorable. Pour les grandes collectivités territoriales, la justice considère qu’elles ont des hommes de chiffres dans leurs effectifs et donc la compétence nécessaire en leur sein. Les élus estiment souvent légitime de faire une action vis-à-vis des banques pour récupérer de l’argent public, mais ils se heurtent parfois à des oppositions, notamment au niveau de leurs directeurs généraux ou de leurs directeurs des finances qui imaginent que cette action risque de les mettre en cause personnellement et craignent de se voir refuser à l’avenir de nouveaux prêts. Sur ce segment de « clientèle », les banques sont plus souvent d’accord pour s’assoir à la table des négociations. Il est actuellement possible sur certains dossiers de faire passer des taux de , % à moins de %. Les négociations peuvent également être facilitées ou contrariées par le fait qu’il existe des salariés de banque élus dans les conseils municipaux – voire être maire-adjoints en charge des finances – ou des élus siégeant aux conseils d’administration des caisses locales de banques. Il n’y a finalement que quelques banques françaises (Crédit Agricole, Crédit Mutuel, Banque Populaire, Banque Postale, Société Générale) sur ce segment de marché où la prise de risque est pourtant relativement faible. De leur côté, les collectivités locales font davantage recours à l’emprunt que par le passé en raison de la baisse des dotations de l’État. ► Pour les bailleurs sociaux On peut raisonnablement penser que le TEG figurant dans l’offre de prêt et celui découlant du tableau d’amortissement doivent être identiques (avec un calcul sur le nombre de jours exact de l’année et tous les frais intégrés dans le TEG). À ma connaissance, il n’y a jamais eu de précédent, ni de jurisprudence, sur le sujet. La procédure contentieuse est généralement longue : de l’ordre de mois si on négocie à l’amiable à mois si l’on va devant une juridiction. Il faut confier ses intérêts à une équipe pluridisciplinaire spécialisée dans le droit bancaire. … Le taux actuariel d’une dette financière Les raisonnements et les techniques actuarielles développés pour un emprunt indivis peuvent être étendus à un portefeuille d'emprunts, détenu par exemple par un organisme d’Hlm.  A partir des capitaux restant dus, au / d’une année par exemple, et des flux prévisionnels d’annuités au / de chaque année, il est possible de calculer le taux actuariel résiduel d’une dette financière d’une entreprise Hlm. Ceci permet de calculer le coût actuariel d’un portefeuille d’emprunts sur la durée de vie maximum de ce portefeuille. Il faut souligner que ce taux est obtenu compte tenu de la cristallisation des taux d’intérêt des emprunts à taux variables. Ce coût actuariel d’un portefeuille d’emprunts est particulièrement utile lorsqu’il s’agira de calculer le coût moyen pondéré des ressources ou du capital d’une entreprise Hlm. Exemple : Capital restant dû et échéances prévisionnelles d'un portefeuille d'emprunts, en euros, d'une entreprise Hlm – + – Montant Capital dates échéances restant dû + Montant Capital dates échéances restant dû Si l’on considère le tableau de flux ci-dessus, il est possible de calculer le taux actuariel t tel que : = + + —– + + (+ t) (+ t) (+ t) ( + t) Le taux actuariel résiduel de la dette financière de cette entreprise Hlm est de .% pour une durée de vie maximum du portefeuille d’emprunts de ans et avec cristallisation des éventuels taux variables au dernier taux d'intérêt connu. Autrement dit, le coût réel de la dette financière, hors frais, de cette entreprise Hlm est de .%. Ce taux est calculé à partir de la fonction TRI d’Excel de Microsoft. Si l’on tient compte des subventions d’investissement associées aux investissements ou aux financements de ces investissements, il est possible de calculer le taux actuariel de la dette financière bonifié par les subventions nettes reçues inscrites au passif du bilan. Dans ce cas présent, les subventions nettes sont assimilées à du capital emprunté non remboursé. En conséquence, et contrairement aux frais entrant dans le calcul du TEG, ceci a pour effet de diminuer le taux actuariel du portefeuille d’emprunts. Si l’on considère que les subventions reçues par l’entreprise Hlm, dont le tableau de flux est exposé ci-dessus, sont de €, alors il est possible de calculer le taux actuariel t’ tel que : + = + + —– + + (+ t') (+ t') (+ t' ) (+ t') On en déduit que t’ est égal à .%. Ceci signifie donc que le coût actuariel des ressources externes de l’entreprise Hlm (dette financière + subventions) est de .%. Ceci signifie aussi que les subventions nettes d’investissement ont pour effet de réduire le taux actuariel de la dette financière de points de base. S’il est possible de calculer le coût actuariel de la dette financière d’une entreprise Hlm, il est aussi possible de calculer le coût actuariel des financements externes d’un projet d’investissement immobilier locatif. Exemple : financements externes d'un projet d’investissement immobilier locatif  Emprunt principal, .% d’intérêt, annuités constantes, ans, € empruntés – annuités de l’emprunt = . € On considère ici les subventions d’investissement comme une sorte de bonification des emprunts contactés. On verra plus avant que les subventions d’investissement peuvent aussi être considérées comme des fonds propres, sans action de bonification des emprunts contractés.  Emprunt complémentaire, % d’intérêt, annuités constantes, ans, ans de différé d’amortissement du capital, € empruntés – annuités de l’emprunt hors différé d’amortissement du capital = . €  Subvention d’investissement : €. Le tableau de flux de la dette financière (les échéances des deux emprunts réunies), exprimé en euros, se présente donc de la manière suivante : dates Montant échéances Capital emprunté . dates . . . . . . . . . . . . . . . . Montant échéances . . . . . . . . . . . . . . . . Capital emprunté Il est possible de calculer le taux actuariel t de la dette financière de l’opération d’investissement immobilier locatif tel que : = . . . . + + —– + + (+ t) (+ t) (+ t) (+ t) Le taux actuariel de la dette financière de cet investissement est de .% pour une durée de vie maximum des emprunts de ans. Autrement dit, le coût réel de ces deux emprunts, hors frais, est de .% sur une période de ans. Ceci signifie donc aussi que le tableau de flux présenté ci-dessus à partir de ces deux emprunts aux taux d’intérêts différents, aux durées de vie différentes et aux modalités de remboursement différentes, est actuariellement équivalent à un emprunt de €, au taux d’intérêt fixe de .%, à annuités constantes de . € pour une durée de vie de ans. Le graphique suivant présente les flux des échéances financières et leur équivalence actuarielle : Graphique . : flux des échéances financières des emprunts et leur équivalence actuarielle euros Échéances financières Equivalence actuarielle Pour calculer le coût actuariel des ressources externes finançant l’investissement immobilier locatif, il suffit d’ajouter le montant de la subvention d’investissement au capital des emprunts ( € + €). Il est alors possible de calculer le taux actuariel t’ tel que : = . . . . + + —– + + (+ t') (+ t') (+ t') (+ t') On en déduit que t’ est égal à .%. Ceci signifie donc que le coût actuariel des ressources externes finançant le projet d’investissement immobilier locatif (emprunts + subvention) est de .%, soit points de base de moins que le coût actuariel des emprunts. Autrement dit, la subvention d’investissement bonifie la dette financière de points de base (.%). … Le taux de privation ou taux d’équilibre Le taux de privation ou taux d’équilibre est le taux actuariel d’un emprunt ou d’une dette financière qui reste à courir compte tenu des pénalités de remboursement anticipé qui devront être décaissées par l’emprunteur si l’emprunt ou la dette financière devait être remboursé par anticipation, c’est à dire avant la fin de vie normale de l’emprunt. Ces pénalités viennent donc majorer le capital restant dû à rembourser. Taux de privation Cp : capital restant dû après paiement de la pème échéance Ip : montant de la pénalité de remboursement anticipé après paiement de la pème échéance ai : montant de l’annuité payée l’année i tp : taux de privation exprimé en % après paiement de la pème échéance Le taux de privation tp est tel que : n -p Cp + Ip = a j+ p  ( + t j= p )j Le capital restant dû Cp étant majoré des pénalités de remboursement anticipé Ip, le taux de privation tp devient inférieur au taux actuariel résiduel zp. Le taux de privation est non seulement aussi un taux actuariel particulier, mais aussi un taux actuariel résiduel spécifique. Considérons le tableau de flux suivant d’un emprunt à ans, à annuités constantes de . € et à taux d’intérêt fixes, mais multiples sur la durée de vie de l’emprunt (% les trois premières années, % les trois années suivantes et enfin %). Le taux actuariel t de l’emprunt est égal à .% calculé à la date de versement des fonds. A l’issue du paiement de la quatrième échéance, l’emprunteur décide de rembourser par anticipation le capital restant dû de cet emprunt, soit . €. La pénalité de remboursement anticipé est fixée forfaitairement à € par le prêteur. dates Montant échéances . . . . . . . . . . Capital Capital emprunté restant dû . . . . . . . . . . . . Pénalité . Calculons tout d’abord le taux actuariel résiduel z à l’issue du paiement de la quatrième échéance : . = . ×( + ) + —– + ( + z ) ( + z ) ( + z ) On en déduit que z = .%. Ce taux actuariel résiduel z est supérieur au taux actuariel t (.%) en raison de la croissance des taux nominaux. Le taux de privation t à l’issue du paiement de la quatrième échéance se déduit donc de l’équation suivante : . + . = . ×( + ( + t ) (+ t ) + — + (+ t ) ) On en déduit que t = .%. Le taux de privation tp est inférieur au taux actuariel résiduel zp à la même date de calcul car le capital remboursé étant majoré d’une pénalité et les échéances restant inchangées, le taux actuariel diminue donc mathématiquement. Si la pénalité est non nulle, alors le taux de privation tp est toujours inférieur au taux actuariel résiduel zp à la même date de calcul. Pour une pénalité nulle, taux de privation et taux actuariel résiduel sont identiques. Il existe deux types de pénalités de remboursement anticipé :  des pénalités proportionnelles exprimées, par exemple, en pourcentage du capital restant dû ou en nombre de mois d’intérêts. Dans ces conditions, le taux de privation se déduit simplement de l’équation ci-dessus.  des pénalités actuarielles où le taux de privation est ramené au taux de refinancement du prêteur ou à tout autre taux fixé contractuellement. Il reste donc à calculer la pénalité de remboursement anticipé qui se déduit elle aussi de l’équation ci-dessus. La pénalité actuarielle est calculée de telle manière que le taux de privation soit ramené au taux de refinancement du prêteur. Dans l’exemple ci-dessus, si le taux de refinancement du prêteur est de .%, alors la pénalité Ip facturée par le prêteur se déduit de l’équation suivante : . + Ip = . × ( (.) + (.) + —- + (.) ) On en déduit que Ip = . €. Le taux de privation est un puissant indicateur de faisabilité du remboursement anticipé. En effet, si le taux de privation est supérieur au taux de refinancement de l’emprunt ou au taux de rentabilité d’un investissement alternatif ou enfin au taux de placement de la trésorerie disponible à moyen/long terme pour la même durée résiduelle de l’emprunt, alors l’emprunteur a intérêt à arbitrer en faveur du remboursement anticipé puisqu’il réalise ainsi un meilleur placement. Si les pénalités, notamment les pénalités actuarielles, amènent le taux de privation à un niveau proche du taux de refinancement de l’emprunt, ou du taux de rentabilité d’un investissement alternatif, ou enfin du taux de rendement de la trésorerie moyenne/longue placée, alors le remboursement anticipé n’est financièrement pas opportun. À partir de l’exemple de l’emprunt ci-dessus, au taux actuariel, hors frais, de .% sur ans, il est simulé pénalités de remboursement anticipé : − paiement de % du capital restant dû − paiement de mois d’intérêts − paiement d’une pénalité actuarielle au taux de % − paiement d’intérêts compensateurs. Ces pénalités sont calculées pour chaque échéance de l’emprunt, à l’issue du paiement de l’annuité. Le tableau ci-dessous présente les taux de privation en % à chaque échéance de l’emprunt, pour chacune de ces pénalités. taux faciaux en taux actuariels % résiduels en % . . . . . . . . . . . . . . . . . . taux de privation : % du capital restant dû taux de privation : mois d'intérêts taux de privation : % actuarielle taux de privation : intérêts compensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partant d’un taux actuariel de .%, arrondi à .%, à la mobilisation de l’emprunt, on constate que les taux actuariels résiduels sont croissants parce que les taux faciaux sont eux-aussi croissants. Ce qui conduirait à une opportunité de remboursement anticipé financièrement intéressante (par rapport aux taux du marché ou au taux de refinancement) au cours de la seconde moitié de vie de l’emprunt (à partir des taux de .% par exemple). On constate très nettement que les pénalités de remboursement anticipé ont pour objet de dissuader cette opportunité en ramenant le taux de privation à un niveau inférieur au taux actuariel résiduel pour la même échéance. Le graphique suivant traduit mieux la comparaison des différentes pénalités. Voir paragraphe … « Interprétation actuarielle des intérêts compensateurs » ci-après. , taux faciaux en % , , taux actuariels résiduels en % , taux de privation : % du capital restant dû , taux de privation : mois d'intérêts , , taux de privation : % actuarielle , taux de privation : intérêts compensateurs , , La pénalité actuarielle est la plus pénalisante pour plus des /ème de la durée de vie de l’emprunt. Le paiement d’intérêts compensateurs demeure la moins pénalisante des pénalités, mais en général d’autres pénalités sont contractuellement associées à ce type de prêt. La pénalité reposant sur le capital restant dû est la moins pénalisante dans cet exemple. Le taux de privation est un puissant indicateur de gestion active de la dette financière des entreprises de logement social. … Interprétation compensateurs actuarielle des intérêts Le système des intérêts compensateurs a été créé par la Caisse des Dépôts et Consignations pour permettre de construire des tableaux d’amortissement dans lesquels n’apparaissent pas d’amortissements négatifs du capital. En effet, à l’époque, pour un Prêt Locatif Aidé (PLA) d’une durée de vie de ans, au taux d’intérêt de .% avec une progression des annuités de .%, la première échéance « naturelle » du tableau d’amortissement représentait .% du capital emprunté alors que les intérêts représentaient déjà .% du capital emprunté. Si l’on s’en tenait à ce mode naturel de calcul du tableau d’amortissement, on devait donc calculer un premier amortissement négatif, puis un second et enfin un troisième. Il s’agit des conditions en vigueur des PLA jusqu’au //. Pour supprimer cet amortissement négatif, il aurait fallu appliquer, selon nos calculs, un taux de progression des annuités égal ou inférieur à .%. Exemple : emprunt à amortissement dit « naturel » C : capital emprunté = € t : taux d’intérêt fixe = .% a : taux de progression des échéances annuelles = .% n : durée d’amortissement de l’emprunt = ans Le tableau d’amortissement de l’emprunt à amortissement « naturel » se présenterait de la manière suivante, en euros arrondis à l’unité : n° Amortissement naturel – – – Intérêts naturels Echéances naturelles Capital restant dû naturel Pour éviter ce phénomène d’amortissements négatifs au cours des trois premières années du remboursement de l’emprunt, il a été imaginé par la CDC un « forçage » de l’amortissement du capital emprunté à l’aide d’une progression géométrique. Exemple : emprunt à amortissement dit « forcé » C : capital emprunté = € (identique à l’exemple ) t : taux d’intérêt actuariel = .% (identique à l’exemple ) a : taux de progression des échéances annuelles = .% (identique à l’exemple ) c : taux de progression annuel du capital remboursé = .% n : durée d’amortissement de l’emprunt = ans (identique à l’exemple ) Le tableau d’amortissement de l’emprunt à amortissement « forcé » se présente alors de la manière suivante, en euros arrondis à l’unité : Le taux de progression de l’amortissement du capital était, par exemple, de .% pour les PLA postérieurs à , de .% pour les PLI révisables mis en place avant et de .% pour les prêts complémentaires à la PALULOS. On notera que, comparé à l'emprunt « naturel », l'amortissement, les intérêts et le capital restant dû sont différents. Néanmoins, les échéances restent identiques. A échéances identiques, les intérêts affichés au niveau du tableau d’amortissement de l’emprunt « forcé » sont plus faibles que les intérêts financiers calculés au niveau du tableau « naturel » pendant les premières échéances. Les deux graphiques suivants indiquent l'évolution comparée respectivement du capital remboursé et des intérêts payés. Il semble clair que les intérêts forcés sont croissants pendant les premières années alors que les intérêts naturels sont logiquement décroissants depuis la ère année. Ceci signifie, qu'en conséquence directe du « forçage » de l'amortissement du capital remboursé, les taux d'intérêts nominaux de l'emprunt forcé sont inférieurs à ceux de l'emprunt naturel pendant les premières échéances annuelles. C'est ce que montre précisément le graphique suivant des taux d'intérêt nominaux à chaque échéance. Les taux d'intérêts nominaux se définissent ici comme le rapport entre les intérêts payés à une échéance et le capital restant dû avant le paiement de cette échéance. taux nominaux naturels taux nominaux forcés Cela revient à dire que le prêteur fait bénéficier à l’emprunteur, dans la construction du tableau d’amortissement « forcé », d’un report d’intérêts. Ce report d’intérêts correspond à la différence entre le capital restant dû affiché dans le tableau d’amortissement « forcé » et le capital restant dû « naturel », dans la mesure où le capital restant dû « forcé » décroît plus vite que le capital restant dû « naturel ». Capital restant dû naturel Capital restant dû forcé – Ce report d’intérêts s’appelle intérêts compensateurs ou indemnités compensatrices et n’est dû qu’en cas de remboursement anticipé du capital de l’emprunt. La facturation des intérêts compensateurs oblige ainsi l’emprunteur à payer pendant la durée de l’emprunt une rémunération du capital égale au taux réel de l’emprunt tandis que le paiement du capital restant dû « forcé », inférieur au capital restant dû « naturel », conduirait à une rémunération inférieure au taux du prêt. Compte tenu de la configuration du tableau d'amortissement de l'emprunt « forcé », il apparaît que les taux actuariels résiduels sont toujours supérieurs au taux actuariel d'origine de l'emprunt, soit .%, comme en témoigne le graphique représentatif des taux actuariels résiduels suivant : en % taux actuareils résiduels Les intérêts compensateurs vont donc représenter l'écart d'intérêts à rajouter au capital restant dû pour que, à chaque échéance, le taux actuariel résiduel soit ramené à .%, soit le coût réel de l'emprunt à la signature du contrat de prêt. Autrement dit, les intérêts compensateurs représentent le cumul actualisé des différences d’amortissement du capital, et donc d’intérêts, pendant la période antérieure au remboursement anticipé. Intérêts compensateurs Cp : capital restant dû après paiement de la pème échéance de l'emprunt forcé Ip : montant des intérêts compensateurs après paiement de la pème échéance ai : montant de l’annuité payée l’année i t : taux d'intérêt actuariel de l'emprunt, en %, à la signature du contrat Le principe des intérêts compensateurs permet donc d'écrire l'égalité algébrique suivante : n -p Cp + Ip = a j+p  (+ t) j= j Dans le cadre de l'exemple ci-dessus, t est égal à .%. En conséquence, si l'on calcule les intérêts compensateurs après paiement de la ème annuité correspondant à un capital restant dû de . €, alors les intérêts compensateurs I à payer en cas de remboursement anticipé se calculent de manière suivante : Autrement dit : Si l'emprunteur souhaite rembourser l'emprunt ci-dessus après paiement de la ème annuité, il devra bien évidemment rembourser le capital restant dû inscrit au tableau d'amortissement, soit . €, majoré des intérêts compensateurs calculés ci-dessus, soit . €, qui ont pour objet de ramener le coût réel de l'emprunt à .% alors que le taux actuariel résiduel de l'emprunt était de .%. Ceci ne préjuge pas des pénalités de remboursement anticipé qui pourront être contractuellement prévues au contrat de prêt et être ajoutées au remboursement. Si le « forçage » de l’amortissement a été, à l’origine, créé pour éviter le phénomène naturel d’amortissement négatif, cette technique a ensuite été étendue par la CDC à d’autres profils d’emprunts pour lesquels la première annuité était tout à fait suffisante pour un amortissement naturel. C’est le cas notamment des emprunts complémentaires aux travaux PALULOS. Au total, le système des intérêts compensateurs concerne encore aujourd’hui les emprunts finançant l’habitat social mis en place par la CDC entre et . .. Applications de l’actualisation à d’autres opérations financières … Le calcul des durées actuarielles Nous avons défini précédemment le taux actuariel comme un taux d’actualisation qui, à une date donnée, égalise à ce taux et à intérêts composés, les valeurs actuelles des montants ou flux monétaires à verser et des montants ou flux monétaires à recevoir. La « date donnée » est encore appelée date de calcul. De plus, il est sous-entendu que les flux monétaires à verser sont réputés payés à leur date de règlement et que les flux monétaires à recevoir sont réputés payés à leurs dates d'échéance. Lorsque les flux monétaires sont annuels et équidistants, comme c'est souvent le cas pour les emprunts des entreprises Hlm, il n'y a pas d'interrogation majeure sur le calcul de la durée entre la date de calcul et chaque flux ou sur le calcul

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